3.432 \(\int \frac{x^4 (A+B x)}{(a+b x)^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=147 \[ -\frac{2 a^4 (A b-a B)}{3 b^6 (a+b x)^{3/2}}+\frac{2 a^3 (4 A b-5 a B)}{b^6 \sqrt{a+b x}}+\frac{4 a^2 \sqrt{a+b x} (3 A b-5 a B)}{b^6}-\frac{4 a (a+b x)^{3/2} (2 A b-5 a B)}{3 b^6}+\frac{2 (a+b x)^{5/2} (A b-5 a B)}{5 b^6}+\frac{2 B (a+b x)^{7/2}}{7 b^6} \]

[Out]

(-2*a^4*(A*b - a*B))/(3*b^6*(a + b*x)^(3/2)) + (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(b^6*Sqrt
[a + b*x]) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*x])/b^6 - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a
+ b*x)^(3/2))/(3*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(5/2))/(5*b^6) + (2*B*(a + b
*x)^(7/2))/(7*b^6)

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.183338, antiderivative size = 147, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 18, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.056 \[ -\frac{2 a^4 (A b-a B)}{3 b^6 (a+b x)^{3/2}}+\frac{2 a^3 (4 A b-5 a B)}{b^6 \sqrt{a+b x}}+\frac{4 a^2 \sqrt{a+b x} (3 A b-5 a B)}{b^6}-\frac{4 a (a+b x)^{3/2} (2 A b-5 a B)}{3 b^6}+\frac{2 (a+b x)^{5/2} (A b-5 a B)}{5 b^6}+\frac{2 B (a+b x)^{7/2}}{7 b^6} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(x^4*(A + B*x))/(a + b*x)^(5/2),x]

[Out]

(-2*a^4*(A*b - a*B))/(3*b^6*(a + b*x)^(3/2)) + (2*a^3*(4*A*b - 5*a*B))/(b^6*Sqrt
[a + b*x]) + (4*a^2*(3*A*b - 5*a*B)*Sqrt[a + b*x])/b^6 - (4*a*(2*A*b - 5*a*B)*(a
+ b*x)^(3/2))/(3*b^6) + (2*(A*b - 5*a*B)*(a + b*x)^(5/2))/(5*b^6) + (2*B*(a + b
*x)^(7/2))/(7*b^6)

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 26.968, size = 146, normalized size = 0.99 \[ \frac{2 B \left (a + b x\right )^{\frac{7}{2}}}{7 b^{6}} - \frac{2 a^{4} \left (A b - B a\right )}{3 b^{6} \left (a + b x\right )^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 a^{3} \left (4 A b - 5 B a\right )}{b^{6} \sqrt{a + b x}} + \frac{4 a^{2} \sqrt{a + b x} \left (3 A b - 5 B a\right )}{b^{6}} - \frac{4 a \left (a + b x\right )^{\frac{3}{2}} \left (2 A b - 5 B a\right )}{3 b^{6}} + \frac{2 \left (a + b x\right )^{\frac{5}{2}} \left (A b - 5 B a\right )}{5 b^{6}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate(x**4*(B*x+A)/(b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

2*B*(a + b*x)**(7/2)/(7*b**6) - 2*a**4*(A*b - B*a)/(3*b**6*(a + b*x)**(3/2)) + 2
*a**3*(4*A*b - 5*B*a)/(b**6*sqrt(a + b*x)) + 4*a**2*sqrt(a + b*x)*(3*A*b - 5*B*a
)/b**6 - 4*a*(a + b*x)**(3/2)*(2*A*b - 5*B*a)/(3*b**6) + 2*(a + b*x)**(5/2)*(A*b
- 5*B*a)/(5*b**6)

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.116713, size = 106, normalized size = 0.72 \[ \frac{-2560 a^5 B+256 a^4 b (7 A-15 B x)+192 a^3 b^2 x (14 A-5 B x)+32 a^2 b^3 x^2 (21 A+5 B x)-4 a b^4 x^3 (28 A+15 B x)+6 b^5 x^4 (7 A+5 B x)}{105 b^6 (a+b x)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[(x^4*(A + B*x))/(a + b*x)^(5/2),x]

[Out]

(-2560*a^5*B + 256*a^4*b*(7*A - 15*B*x) + 192*a^3*b^2*x*(14*A - 5*B*x) + 6*b^5*x
^4*(7*A + 5*B*x) + 32*a^2*b^3*x^2*(21*A + 5*B*x) - 4*a*b^4*x^3*(28*A + 15*B*x))/
(105*b^6*(a + b*x)^(3/2))

_______________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.008, size = 119, normalized size = 0.8 \[{\frac{30\,{b}^{5}B{x}^{5}+42\,A{x}^{4}{b}^{5}-60\,B{x}^{4}a{b}^{4}-112\,A{x}^{3}a{b}^{4}+160\,B{x}^{3}{a}^{2}{b}^{3}+672\,A{x}^{2}{a}^{2}{b}^{3}-960\,B{x}^{2}{a}^{3}{b}^{2}+2688\,Ax{a}^{3}{b}^{2}-3840\,Bx{a}^{4}b+1792\,A{a}^{4}b-2560\,B{a}^{5}}{105\,{b}^{6}} \left ( bx+a \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int(x^4*(B*x+A)/(b*x+a)^(5/2),x)

[Out]

2/105/(b*x+a)^(3/2)*(15*B*b^5*x^5+21*A*b^5*x^4-30*B*a*b^4*x^4-56*A*a*b^4*x^3+80*
B*a^2*b^3*x^3+336*A*a^2*b^3*x^2-480*B*a^3*b^2*x^2+1344*A*a^3*b^2*x-1920*B*a^4*b*
x+896*A*a^4*b-1280*B*a^5)/b^6

_______________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.35215, size = 174, normalized size = 1.18 \[ \frac{2 \,{\left (\frac{15 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{7}{2}} B - 21 \,{\left (5 \, B a - A b\right )}{\left (b x + a\right )}^{\frac{5}{2}} + 70 \,{\left (5 \, B a^{2} - 2 \, A a b\right )}{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} - 210 \,{\left (5 \, B a^{3} - 3 \, A a^{2} b\right )} \sqrt{b x + a}}{b} + \frac{35 \,{\left (B a^{5} - A a^{4} b - 3 \,{\left (5 \, B a^{4} - 4 \, A a^{3} b\right )}{\left (b x + a\right )}\right )}}{{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} b}\right )}}{105 \, b^{5}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((B*x + A)*x^4/(b*x + a)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

2/105*((15*(b*x + a)^(7/2)*B - 21*(5*B*a - A*b)*(b*x + a)^(5/2) + 70*(5*B*a^2 -
2*A*a*b)*(b*x + a)^(3/2) - 210*(5*B*a^3 - 3*A*a^2*b)*sqrt(b*x + a))/b + 35*(B*a^
5 - A*a^4*b - 3*(5*B*a^4 - 4*A*a^3*b)*(b*x + a))/((b*x + a)^(3/2)*b))/b^5

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.215891, size = 176, normalized size = 1.2 \[ \frac{2 \,{\left (15 \, B b^{5} x^{5} - 1280 \, B a^{5} + 896 \, A a^{4} b - 3 \,{\left (10 \, B a b^{4} - 7 \, A b^{5}\right )} x^{4} + 8 \,{\left (10 \, B a^{2} b^{3} - 7 \, A a b^{4}\right )} x^{3} - 48 \,{\left (10 \, B a^{3} b^{2} - 7 \, A a^{2} b^{3}\right )} x^{2} - 192 \,{\left (10 \, B a^{4} b - 7 \, A a^{3} b^{2}\right )} x\right )}}{105 \,{\left (b^{7} x + a b^{6}\right )} \sqrt{b x + a}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((B*x + A)*x^4/(b*x + a)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

2/105*(15*B*b^5*x^5 - 1280*B*a^5 + 896*A*a^4*b - 3*(10*B*a*b^4 - 7*A*b^5)*x^4 +
8*(10*B*a^2*b^3 - 7*A*a*b^4)*x^3 - 48*(10*B*a^3*b^2 - 7*A*a^2*b^3)*x^2 - 192*(10
*B*a^4*b - 7*A*a^3*b^2)*x)/((b^7*x + a*b^6)*sqrt(b*x + a))

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 47.3056, size = 10594, normalized size = 72.07 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(x**4*(B*x+A)/(b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

A*(256*a**(85/2)*sqrt(1 + b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b
**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 +
3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**3
1*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) - 256*a**(85/2)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*
b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 378
0*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b
**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 2432*a**(83/2)*b*x*sq
rt(1 + b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**
37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x
**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a
**30*b**15*x**10) - 2560*a**(83/2)*b*x/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 10336*a**(81/2)*b**2*x**2*sqrt(1 +
b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8
*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1
800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b*
*15*x**10) - 11520*a**(81/2)*b**2*x**2/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 25840*a**(79/2)*b**3*x**3*sqrt(1 +
b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8
*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1
800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b*
*15*x**10) - 30720*a**(79/2)*b**3*x**3/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 41990*a**(77/2)*b**4*x**4*sqrt(1 +
b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8
*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1
800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b*
*15*x**10) - 53760*a**(77/2)*b**4*x**4/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 46192*a**(75/2)*b**5*x**5*sqrt(1 +
b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8
*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1
800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b*
*15*x**10) - 64512*a**(75/2)*b**5*x**5/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 34664*a**(73/2)*b**6*x**6*sqrt(1 +
b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8
*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1
800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b*
*15*x**10) - 53760*a**(73/2)*b**6*x**6/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 17392*a**(71/2)*b**7*x**7*sqrt(1 +
b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8
*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1
800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b*
*15*x**10) - 30720*a**(71/2)*b**7*x**7/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a
**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*
x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 15
0*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 5540*a**(69/2)*b**8*x**8*sqrt(1 + b
*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*
x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 18
00*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**
15*x**10) - 11520*a**(69/2)*b**8*x**8/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a*
*38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x
**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150
*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 1040*a**(67/2)*b**9*x**9*sqrt(1 + b*
x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x
**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 180
0*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**1
5*x**10) - 2560*a**(67/2)*b**9*x**9/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**3
8*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**
5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a
**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 136*a**(65/2)*b**10*x**10*sqrt(1 + b*x
/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x*
*3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800
*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15
*x**10) - 256*a**(65/2)*b**10*x**10/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**3
8*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**
5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a
**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10) + 32*a**(63/2)*b**11*x**11*sqrt(1 + b*x/
a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**
3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a**35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*
a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*
x**10) + 6*a**(61/2)*b**12*x**12*sqrt(1 + b*x/a)/(15*a**40*b**5 + 150*a**39*b**6
*x + 675*a**38*b**7*x**2 + 1800*a**37*b**8*x**3 + 3150*a**36*b**9*x**4 + 3780*a*
*35*b**10*x**5 + 3150*a**34*b**11*x**6 + 1800*a**33*b**12*x**7 + 675*a**32*b**13
*x**8 + 150*a**31*b**14*x**9 + 15*a**30*b**15*x**10)) + B*(-512*a**(147/2)*sqrt(
1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67
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2*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*
x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**1
2 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 512
*a**(147/2)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**6
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12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15
*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**
12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 74
24*a**(145/2)*b*x*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68
*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x
**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**
8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11
+ 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a
**55*b**21*x**15) + 7680*a**(145/2)*b*x/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205
*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b
**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**
14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*
x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14
+ 21*a**55*b**21*x**15) - 50112*a**(143/2)*b**2*x**2*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b
**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**
66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*
b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**
16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x
**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 53760*a**(143/2)*b**2*x**
2/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**
3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 +
135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63
063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*
a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 208800*a**(1
41/2)*b**3*x**3*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b
**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**
5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8
+ 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 +
9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**
55*b**21*x**15) + 232960*a**(141/2)*b**3*x**3/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x
+ 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a
**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**
62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*
b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*
x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 600300*a**(139/2)*b**4*x**4*sqrt(1 + b*x/a)/(21*
a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28
665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135
*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a*
*60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*
b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 698880*a**(139/2)*
b**4*x**4/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*
b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12
*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x
**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12
+ 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 1260
630*a**(137/2)*b**5*x**5*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 220
5*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*
b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b*
*14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17
*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14
+ 21*a**55*b**21*x**15) + 1537536*a**(137/2)*b**5*x**5/(21*a**70*b**6 + 315*a**
69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4
+ 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 +
135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28
665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a*
*56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 1995994*a**(135/2)*b**6*x**6*sqrt(1 +
b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**
9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x*
*6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9
+ 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 +
2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 2562560
*a**(135/2)*b**6*x**6/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 +
9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105
*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a
**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58
*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x
**15) - 2423668*a**(133/2)*b**7*x**7*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*
b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 +
63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135
135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665
*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56
*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 3294720*a**(133/2)*b**7*x**7/(21*a**70*b*
*6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**6
6*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b
**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**1
6*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x*
*13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 2271984*a**(131/2)*b**8*x*
*8*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 95
55*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a*
*64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**6
1*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b*
*18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**1
5) + 3294720*a**(131/2)*b**8*x**8/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68
*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x
**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**
8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11
+ 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a
**55*b**21*x**15) - 1640210*a**(129/2)*b**9*x**9*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6
+ 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b
**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**1
3*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x
**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13
+ 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 2562560*a**(129/2)*b**9*x**9/
(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3
+ 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 13
5135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 6306
3*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a*
*57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 900614*a**(127
/2)*b**10*x**10*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b
**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**
5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8
+ 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 +
9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**
55*b**21*x**15) + 1537536*a**(127/2)*b**10*x**10/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7
*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 6306
3*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*
a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**
59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**
20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 365976*a**(125/2)*b**11*x**11*sqrt(1 + b*x/a)
/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3
+ 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 1
35135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 630
63*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a
**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 698880*a**(12
5/2)*b**11*x**11/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555
*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**6
4*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*
b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**1
8*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15)
- 103740*a**(123/2)*b**12*x**12*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7
*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 6306
3*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*
a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**
59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**
20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 232960*a**(123/2)*b**12*x**12/(21*a**70*b**6
+ 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b
**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**1
3*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x
**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13
+ 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) - 17178*a**(121/2)*b**13*x**13*
sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*
a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64
*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b
**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18
*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15)
+ 53760*a**(121/2)*b**13*x**13/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b*
*8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5
+ 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 +
105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9
555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**5
5*b**21*x**15) + 90*a**(119/2)*b**14*x**14*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*
a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x
**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7
+ 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 +
28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315
*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 7680*a**(119/2)*b**14*x**14/(21*a**
70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665
*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a*
*63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60
*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**
19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 1004*a**(117/2)*b**15
*x**15*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2
+ 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 10510
5*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*
a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**5
8*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*
x**15) + 512*a**(117/2)*b**15*x**15/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**
68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11
*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x
**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**1
1 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21
*a**55*b**21*x**15) + 344*a**(115/2)*b**16*x**16*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6
+ 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b
**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**1
3*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x
**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13
+ 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 66*a**(113/2)*b**17*x**17*sqr
t(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**
67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b**11*x**5 + 105105*a**64*b*
*12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**14*x**8 + 105105*a**61*b**1
5*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*x**11 + 9555*a**58*b**18*x*
*12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14 + 21*a**55*b**21*x**15) + 6
*a**(111/2)*b**18*x**18*sqrt(1 + b*x/a)/(21*a**70*b**6 + 315*a**69*b**7*x + 2205
*a**68*b**8*x**2 + 9555*a**67*b**9*x**3 + 28665*a**66*b**10*x**4 + 63063*a**65*b
**11*x**5 + 105105*a**64*b**12*x**6 + 135135*a**63*b**13*x**7 + 135135*a**62*b**
14*x**8 + 105105*a**61*b**15*x**9 + 63063*a**60*b**16*x**10 + 28665*a**59*b**17*
x**11 + 9555*a**58*b**18*x**12 + 2205*a**57*b**19*x**13 + 315*a**56*b**20*x**14
+ 21*a**55*b**21*x**15))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.214921, size = 212, normalized size = 1.44 \[ -\frac{2 \,{\left (15 \,{\left (b x + a\right )} B a^{4} - B a^{5} - 12 \,{\left (b x + a\right )} A a^{3} b + A a^{4} b\right )}}{3 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} b^{6}} + \frac{2 \,{\left (15 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{7}{2}} B b^{36} - 105 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{5}{2}} B a b^{36} + 350 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} B a^{2} b^{36} - 1050 \, \sqrt{b x + a} B a^{3} b^{36} + 21 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{5}{2}} A b^{37} - 140 \,{\left (b x + a\right )}^{\frac{3}{2}} A a b^{37} + 630 \, \sqrt{b x + a} A a^{2} b^{37}\right )}}{105 \, b^{42}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((B*x + A)*x^4/(b*x + a)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

-2/3*(15*(b*x + a)*B*a^4 - B*a^5 - 12*(b*x + a)*A*a^3*b + A*a^4*b)/((b*x + a)^(3
/2)*b^6) + 2/105*(15*(b*x + a)^(7/2)*B*b^36 - 105*(b*x + a)^(5/2)*B*a*b^36 + 350
*(b*x + a)^(3/2)*B*a^2*b^36 - 1050*sqrt(b*x + a)*B*a^3*b^36 + 21*(b*x + a)^(5/2)
*A*b^37 - 140*(b*x + a)^(3/2)*A*a*b^37 + 630*sqrt(b*x + a)*A*a^2*b^37)/b^42